ニュートンの運動方程式

ニュートンの運動方程式においてある物体にかかる力 $F$ 、質量 $m$、加速度 $a$ の関係は以下のようになっています。

$$F = ma$$

加速度 $a$ は速度 $v$ の微分であり、速度は位置 $r$ の微分であるため、運動方程式は位置 $r$ の 2 階微分により以下のように書くことができます。

$$\frac{d^2}{dt^2} r = \frac{F(t)}{m} = a$$

これは加速度 $a$ と位置 $r$ の関係を表した微分方程式であり、これを解くことで物体の運動を計算することができます。 ある $t$ における加速度 $a(t)$ が数式で表されている場合は Runge-Kutta 法を用いることで高い精度で解を得ることができます。 しかし、複数の物体が複雑に相互作用する場合にはそれが困難になるため、他の方法を考える必要があります。

速度 Verlet 法

$r(t)$ の $t_0$ のまわりでのテイラー展開は以下のようになります。

$$r(t) \simeq r(t_0) + (t - t_0) v(t_0) + \frac{(t - t_0)^2}{2} a(t_0)$$

$t_0$ から微小時間 $\Delta$ 変化した時の位置 $r(t + \Delta)$ は、上の式の $t = t_0 + \Delta$ のときで得られます。

$$r(t_0 + \Delta) \simeq r(t_0) + \Delta v(t_0) + \frac{\Delta^2}{2} a(t_0)$$

これは位置 $r(t)$ の更新式となります。

上と同様に、$r(t - \Delta)$ は以下のようになります。

$$r(t_0 - \Delta) \simeq r(t_0) - \Delta v(t_0) + \frac{\Delta^2}{2} a(t_0)$$

これらを整理すると、以下の $v(t)$ の更新式が得られます。

$$v(t_0 + \Delta) \simeq v(t_0) + \frac{\Delta}{2} \left(a(t_0 + \Delta) + a(t_0) \right)$$

すなわち、ある時刻 $t$ における加速度 $a(t)$ が現在の位置 $r(t)$ によって得られたら、速度 $v(t + \Delta)$ と位置 $r(t + \Delta)$ を更新していくことができます。

速度 Verlet 法は、粒子同士の衝突を考慮する場合など、粒子にかかる力が刻一刻変化する場合に適していて、実際に分子動力学シミュレーションなどの分野で使用されています。

簡易版速度 Verlet 法

速度 Verlet 法では一般的には 2 次のテイラー展開が使用されます。 物理現象を正確に再現するためには精度が必要です。 しかし、次回以降で扱うネットワーク可視化では、粒子間の物理的な相互作用をメタファーにしますが、現象の再現ではないため精度は必要ありません。 そのため、より簡易的な更新式を用いることができます。

1 次のテイラー展開を用いて、$\Delta = 1$ とすれば、更新式は以下のようになります。

$$\begin{aligned} r(t + 1) &= r(t) + v(t) \\ v(t + 1) &= v(t) + a(t) \end{aligned}$$

すなわち、2 次元空間上の現在の座標 $r = (x, y)$ と速度 $v = (v_x, v_y)$ が得られており、加速度 $a = (a_x, a_y)$ を計算することができるとき、以下のような手順で座標を更新できます。

x += vx;
y += vy;
vx += ax;
vy += ay;

大雑把な説明として、Verlet 法とは加速度を用いて速度を更新し、速度を用いて物体の座標を更新していく方法です。