流線の可視化

ベクトル場 $V(x, y)$ において、点 $(x, y)$ における速度が次のように定義されている。

$$\begin{aligned} \frac{d}{dt} x &= \frac{r}{2} cos \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) \\ \frac{d}{dt} y &= \frac{r}{2} sin \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) \end{aligned}$$

ここで、

$$\begin{aligned} x &= r \cos \left(\theta \right) \\ y &= r \sin \left(\theta \right) \end{aligned}$$

である。

課題

1. $V(x, y)$ において (0, 50) を初期値とした流線を Euler 法を用いて求め、$-100 \leq x < 100$、$-100 \leq y < 100$の範囲の流線を 幅 600、高さ 600 のウィンドウに描画せよ（10/40 点）
2. 時間の刻み幅を変化させた時の流線の違いについて考察せよ（20/40 点）
3. 同様の流線を Runge-Kutta 法を用いて求め、Euler 法との違いについて考察せよ（40/40 点）

オプション課題

以下のような工夫はレポート配分の 40 点とは別に加点する。 工夫した点がある場合はレポート中に記載すること。

• 異なるベクトル場で実験を行え

ヒント

• 原点$(0, 0)$と点$(x, y)$を結ぶ線分と$x$軸のなす角度はatan2(y, x)で得られる
  • https://processing.org/reference/atan2_.html
• 考察では、厳密解との違いにも注目せよ